在現(xiàn)代消費(fèi)者理論中，以商品價(jià)格向量P、消費(fèi)束（商品數(shù)量向量）X、和消費(fèi)者預(yù)算約束m三者為自變量的效用函數(shù)形式有兩類：一類是僅以消費(fèi)束X為自變量的“直接效用函數(shù)”U（X）；另一類是以商品價(jià)格向量P和消費(fèi)者預(yù)算約束m兩者為自變量的“間接效用函數(shù)”v（P,m）。

直接效用函數(shù)U（X）的思想是：只要消費(fèi)者購(gòu)買（消費(fèi)）各種商品的數(shù)量一定（而不管其他相關(guān)的經(jīng)濟(jì)變量(如價(jià)格向量P)如何置定或變動(dòng)），消費(fèi)者的偏好或效用大小便唯一地確定。即，確定的消費(fèi)束X對(duì)應(yīng)確定的效用函數(shù)值U（X）。

間接效用函數(shù)v（P,m）是建立在僅以消費(fèi)束X為自變量的直接效用函數(shù)U（X）的基礎(chǔ)之上的。其思路是：只要消費(fèi)者面臨的商品價(jià)格向量P和消費(fèi)者預(yù)算約束m兩者一定，消費(fèi)者在PX=m約束下，最大化其直接效用函數(shù)U（X）的值，此時(shí)的最大U（X）值即是間接效用函數(shù)v（P,m）的函數(shù)值。需要特別指出的是，消費(fèi)者面臨的商品價(jià)格向量P和消費(fèi)者預(yù)算約束m兩者確定，消費(fèi)者最大化其效用水平的購(gòu)買消費(fèi)束X并不要求唯一確定（雖然大多數(shù)時(shí)候是唯一確定的），但這些不同的向量X所對(duì)應(yīng)的直接效用函數(shù)U（X）的值卻必須是唯一的“最大值”。

現(xiàn)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)于效用函數(shù)與商品價(jià)格向量P、消費(fèi)束（商品數(shù)量向量）X、和消費(fèi)者預(yù)算約束m等其他經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系，被認(rèn)定為：效用函數(shù)值的大小實(shí)際上被消費(fèi)者本人的消費(fèi)束X唯一地確定；除消費(fèi)束X之外的其他變量（如P和m）對(duì)消費(fèi)者效用水平的影響，只能通過影響X間接地決定或影響效用水平。即只要消費(fèi)者購(gòu)買（或消費(fèi)）各種商品的數(shù)量一定（而不管其他相關(guān)的經(jīng)濟(jì)變量如價(jià)格向量P如何置定或變動(dòng)），其偏好或效用大小便唯一地確定。然而，實(shí)際情形并非如此。

"效用函數(shù)" 在工具書中的解釋

　　表示消費(fèi)者在消費(fèi)中所獲得的效用與所消費(fèi)的商品組合之間數(shù)量關(guān)系的函數(shù)。它被用以衡量消費(fèi)者從消費(fèi)既定的商品組合中所獲得滿足的程度。運(yùn)用無差異曲線只能分析兩種商品的組合,而運(yùn)用效用函數(shù)則能分析更多種商品的組合。其表達(dá)式是:U=U(x, y, z, …)式中 x,　y,　z分別代表消費(fèi)者所擁有或消費(fèi)的各種商品的數(shù)量。

"效用函數(shù)" 在學(xué)術(shù)文獻(xiàn)中的解釋

　　1、效用函數(shù)的定義是:設(shè)f是定義在消費(fèi)集合X上的偏好關(guān)系,如果對(duì)于X中任何的x,y,xfy當(dāng)且僅當(dāng)u(x)u(y),則稱函數(shù)u:XnR+R是表示偏好關(guān)系f的效用函數(shù)。^[1]

　　2、F(X)稱為效用函數(shù).加權(quán)P范數(shù)法的關(guān)鍵是權(quán)系數(shù)的確定.有2種基本的方法,一是老學(xué)習(xí)法[1,2],該方法依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的相對(duì)重要性來選取權(quán)系數(shù)。^[2]

　　3、一個(gè)人的效用應(yīng)是財(cái)富x的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為效用函數(shù),從理論上來講,它可以通過一系列心理測(cè)試來逼近得到每個(gè)人的效用函數(shù).不同的決策者應(yīng)有不同的效用函數(shù).首先我們尋求效用函數(shù)所滿足的性質(zhì)或某些特殊類效用函數(shù)所滿足的性質(zhì)。^[3]

　　4、這是一種理論假設(shè),他們運(yùn)用的數(shù)學(xué)函數(shù)式所建立的模型稱為“效用函數(shù)”.按照這類模型,人都能被假設(shè)成為可以決定在每一種可能的時(shí)間分配中產(chǎn)生一定的利益水平,并且追求利益最大化的選擇。^[4]

　　5、U——第i種運(yùn)輸方式的費(fèi)用,有時(shí)也稱為效用函數(shù)；

　　　 T——第i種運(yùn)輸方式的出行時(shí)間；

　　　 C——第i種運(yùn)輸方式的運(yùn)輸費(fèi)用。^[5]

　　6、為了對(duì)控制做出評(píng)價(jià),需要一套函數(shù)作為評(píng)價(jià)指標(biāo): 其中U_t = U[R_t,A_t,t]用以對(duì)每步控制進(jìn)行評(píng)價(jià),稱為效用函數(shù).J(t)函數(shù)表示了從此刻開始的每步效用函數(shù)值的累積,稱為費(fèi)用函數(shù)。^[5]

效用函數(shù)的存在性,用數(shù)學(xué)式表示了效用函數(shù)的2個(gè)特征：效用是隨著單個(gè)商品數(shù)量遞增而增長(zhǎng)的,且單個(gè)商品的邊際效用是遞減的同時(shí),得出了對(duì)于效用函數(shù),商品組合X和商品組合Y產(chǎn)生的效用之和大于商品組合X＋Y產(chǎn)生的效用.

西方經(jīng)濟(jì)學(xué)效用函數(shù)的存在性定理^[6]：假定消費(fèi)者偏好具有完備性、自返性、傳遞性、連續(xù)性和強(qiáng)單調(diào)性，那么，存在著一個(gè)能代表該偏好的連續(xù)效用函數(shù)。

在上述假設(shè)下，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)首先構(gòu)造一個(gè)由所有商品的1個(gè)單位所組成的單位消費(fèi)束e（e是每個(gè)分量均為1的n維實(shí)數(shù)空間Rn中的向量），然后將所有的消費(fèi)束與這個(gè)單位消費(fèi)束進(jìn)行比較，“證明”這些所有的消費(fèi)束都分別與這個(gè)單位消費(fèi)束的某一個(gè)倍數(shù)是無差異的，從而可以用這個(gè)倍數(shù)來表示效用，即效用函數(shù)是存在的。

但是，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)效用函數(shù)的存在性的證明，是一種自我循環(huán)的論證。這是因?yàn)?，效用函?shù)存在性定理的那些假設(shè)條件，不是基于事實(shí)，而是基于數(shù)學(xué)證明的需要。而要滿足這些假設(shè)條件，就必須事先要求效用函數(shù)的存在。事實(shí)上，如果沒有效用函數(shù)的事先存在，消費(fèi)者是不可能對(duì)數(shù)百萬種商品的各種數(shù)量的無窮組合進(jìn)行滿足完備性、傳遞性和連續(xù)性的偏好判斷的。而這正是在心理實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)那些事先沒有設(shè)定效用函數(shù)的人們的選擇缺乏傳遞性的根本原因。

從而西方經(jīng)濟(jì)學(xué)所證明的是這樣一個(gè)定理：假定消費(fèi)者偏好是用一個(gè)能夠被數(shù)學(xué)證明其存在性的連續(xù)效用函數(shù)來代表的，那么就可以證明存在這樣一個(gè)能代表該偏好的連續(xù)效用函數(shù)。

進(jìn)一步地，上述存在性定理所“證明”的效用函數(shù)是連續(xù)性的，從而是基數(shù)效用，而不是非連續(xù)的序數(shù)效用。也就是說，序數(shù)效用的存在性并沒有得到任何證明。而基數(shù)效用的最大問題是如何確定“效用單位”。對(duì)于一個(gè)“效用單位”到底是多少的問題，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)始終沒有回答。實(shí)際上，從西方經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)于效用函數(shù)存在性的“證明”過程來看，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)實(shí)際上隱含地將一個(gè)單位消費(fèi)束即所有商品各消費(fèi)一個(gè)單位所帶來的消費(fèi)效用作為一個(gè)效用單位。但是，富人是不會(huì)去吃窮人的“珍珠翡翠白玉湯”的。這種湯帶給窮人的效用為正，而帶給富人的效用為負(fù)。從而，窮人和富人有不同的消費(fèi)集，也就有了不同的單位消費(fèi)束。那么應(yīng)當(dāng)按哪一個(gè)消費(fèi)束來算呢？尤其是對(duì)于那些財(cái)富的數(shù)量每天在變動(dòng)的人，比如今天還是白領(lǐng)、明天就失業(yè)成為窮人的人。

還有一個(gè)問題就是一個(gè)商品的消費(fèi)單位如何計(jì)算？比如，對(duì)于水和糧食，如果都用噸來計(jì)算，那么我們可以設(shè)想這樣一個(gè)情形：假定對(duì)某個(gè)消費(fèi)者來說，3噸水和0.1噸糧食是其在某個(gè)沙漠地區(qū)生存一段時(shí)間所必需的。用x=（3，0.1）來表示此消費(fèi)束。也就是說，我們?cè)谶@里只考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的二維消費(fèi)空間，其中的一維代表水，另一維代表糧食。于是，按照西方經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)于效用函數(shù)存在性的證明，存在某個(gè)0.1<t<3，使得t（1，1）即（t，t）與（3，0.1）是無差異的，也就是說消費(fèi)t噸水和t噸糧食與消費(fèi)3噸水和0.1噸糧食是無差異的。然而，在沙漠里，失去的（3-t）噸水是不可以用增加的（t-0.1）噸糧食來代替的[4]。當(dāng)然，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)可以將3噸水和0.1噸糧食分別視為一個(gè)單位的水和一個(gè)單位的糧食，以便維持消費(fèi)所需的正常比例。但是，這樣一來，各個(gè)商品的消費(fèi)單位的認(rèn)定就過于隨意了，而這種不同單位的轉(zhuǎn)換未必能保證存在性證明所需要的單調(diào)性，從而可能破壞效用的序數(shù)性質(zhì)。

實(shí)際上，如果不能確定一個(gè)單位消費(fèi)束中的所有商品的一個(gè)消費(fèi)單位，那么效用函數(shù)的存在性“證明”也就缺乏現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。此外，我們注意到兩個(gè)單位消費(fèi)束即2e的效用恰好是一個(gè)單位消費(fèi)束e效用的兩倍，ne的效用恰好是e的效用的n倍。也就是說，如果將一單位消費(fèi)束看作一個(gè)綜合商品，那么該綜合商品的邊際效用是恒定的，與西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的邊際效用遞減相矛盾。

更進(jìn)一步地，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)僅僅“證明”了效用函數(shù)的存在性，并沒有求出具體的效用函數(shù)。但西方經(jīng)濟(jì)學(xué)卻因此獲得了可以任意設(shè)定效用函數(shù)的權(quán)力。例如，我們可以從西方經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中看到如下效用函數(shù)形式

u(x,y) = x^ay^b

其中，x，y分別是兩個(gè)商品的消費(fèi)量，U（x，y）是消費(fèi)這樣一個(gè)消費(fèi)束給消費(fèi)者帶來的效用，a>0，b>0。

上述并未被數(shù)學(xué)證實(shí)的效用函數(shù)形式，存在這樣一個(gè)問題：考慮一個(gè)又饑又渴的人。設(shè)x，y分別代表水和面包的消費(fèi)量，則上述效用函數(shù)意味著，給這個(gè)消費(fèi)者一粒面包屑和無窮多的水，或者給這個(gè)消費(fèi)者一滴水和無窮多的面包，都可以讓該消費(fèi)者得到無窮大的效用。但是，在現(xiàn)實(shí)生活中，上述兩個(gè)消費(fèi)束帶給這個(gè)消費(fèi)者的無窮大效用還不如兩杯水加兩個(gè)面包帶給他的有限效用，后者更能適合他的需要。這個(gè)例子表明，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)不僅濫用了所謂效用函數(shù)的存在性，甚至無法給出一個(gè)不與人們的現(xiàn)實(shí)感受相沖突的具體的效用函數(shù)形式。

案例一：效用函數(shù)在金融學(xué)中的應(yīng)用^[7]

　　1952年，Markowitz發(fā)表《投資組合選擇》，揭開了金融數(shù)學(xué)的發(fā)展。半個(gè)世紀(jì)來，現(xiàn)代金融理論經(jīng)歷了由簡(jiǎn)單的定量分析到系統(tǒng)化，再到工程化的過程。這個(gè)過程中，效用函數(shù)成為研究金融理論的強(qiáng)有力工具。一些學(xué)者利用效用函數(shù)對(duì)Markowitz的均值一方差組合模型進(jìn)行改進(jìn)，形成了一些很實(shí)用的模型，比如金融學(xué)中常用的無差異曲線。有的學(xué)者考慮到投資者對(duì)收益與風(fēng)險(xiǎn)的偏好，建立了基于投資者的指數(shù)型效用函數(shù)和冪函數(shù)等，本文將討論效用函數(shù)的這兩種形式，并利用它們分析效用函數(shù)在保險(xiǎn)業(yè)中的應(yīng)用。

　　一、效用函數(shù)的冪函數(shù)形式

　　(1)對(duì),定義

　　(2)對(duì),定義

　　(3)對(duì)b=0,定義

　　上述(3)中的形式實(shí)際上是因?yàn)?img class="tex" src="http://wiki.mbalib.com/w/images/math/b/e/a/bea1bf38e6567e748dea2a7bd0c9f96b.png" alt="lim_{b to 0}frac{w^b-1}=ln w" style="margin: 0px; border: 0px solid rgb(51, 51, 51); vertical-align: middle;"/>

　　假定ζ > 0是一個(gè)有界的隨機(jī)變量，對(duì)上述3種形式，當(dāng)w>0時(shí)，μ(w)都是嚴(yán)格凹函數(shù)，利用詹森不等式E(g(ζ)) < g(E(ζ))分別得到：

　　E(μ(ζ)) = E(ζ^b / b) < E(ζ^b) / b,

　　和E(μ(ζ)) = E(lnζ) < ln(Eζ),

　　由此可見，此處預(yù)期效用最大化等同于 最大化，這就把問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。在投資分析中，利用效用函數(shù)的冪函數(shù)形式能夠很方便的解決一些問題。

　　二、效用函數(shù)的指數(shù)函數(shù)形式

　　(1)對(duì),定義；

　　(2)對(duì)b=0,定義

　　假定ζ > 0是一個(gè)有界的隨機(jī)變量，利用泰勒公式展開式，對(duì)(1)有：

　　由上式可知，預(yù)期效用最大化等同于E(ζ)最大化且Varζ最小化及回報(bào)最大化兼顧風(fēng)險(xiǎn)最小化。因此風(fēng)險(xiǎn)與回報(bào)問題可以近似于效用函數(shù)的最優(yōu)化問題。

　　如果 還服從正態(tài)分布N(μ,σ²)即滿足E(ζ) = μ,Varζ = σ²。當(dāng)貨幣收入效用函數(shù)具有形式(1)時(shí),，其中為正態(tài)分布密度函數(shù)。注意到E(μ(ζ))是遞增的，因此如果是在某一單調(diào)變換下，預(yù)期效用函數(shù)E(μ(ζ))可變換為效用函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)表示了同一偏好關(guān)系。因?yàn)関只和均值和方差有關(guān)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)行為作出回報(bào)與風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)價(jià)要方便。

　　三、購(gòu)買保險(xiǎn)與效用函數(shù)的形式

　　假定某人有初始財(cái)富收入為W(>0)元，且在一年后因意外原因會(huì)損失x(>0)元的概率為P，；而保持初始財(cái)富W的概率為1-P，則他在一年后的預(yù)期收入為：

　　，

　　此人面臨購(gòu)買保險(xiǎn)與不購(gòu)買保險(xiǎn)2種經(jīng)驗(yàn)選擇。

　　假定保險(xiǎn)公司為人們提供保險(xiǎn)并不想從個(gè)別人身上賺錢，也就是說，保險(xiǎn)公司向個(gè)人銷售保險(xiǎn)的預(yù)期收入為零(后面還討論保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)情況)。用π = RP(ζ)表示保險(xiǎn)費(fèi)，顯然0<π<x。如果意外事件發(fā)生，他將從保險(xiǎn)公司得到x元的賠償。因此，保險(xiǎn)公司銷售x元保險(xiǎn)的預(yù)期收入為：p(π ? x) + (1 ? p)π = π ? px。

　　在保險(xiǎn)公司向個(gè)人銷售保險(xiǎn)的預(yù)期收入為零的假設(shè)下，容易得到：π = px，即保險(xiǎn)費(fèi)就等于個(gè)人可能的損失與意外事件發(fā)生概率的乘積。

　　假設(shè)此人愿意支付保險(xiǎn)費(fèi)，并仍假定為п，則當(dāng)意外事件發(fā)生時(shí)，他會(huì)得到 元保險(xiǎn)公司的賠償。因?yàn)樗毁?gòu)買保險(xiǎn)的預(yù)期效用為：，因此他購(gòu)買保險(xiǎn)的預(yù)期效用為μ(W ? π)，其中W ? π就是他購(gòu)買保險(xiǎn)后的確定性收入。我們也可以計(jì)算得出，他的預(yù)期損失為utf ? 8。如果保險(xiǎn)費(fèi)等于他的預(yù)期損失(這顯然具有合理性)，則π = W ? E(W ? px) = px，則購(gòu)買保險(xiǎn)后的確定收人，即保險(xiǎn)所保證的穩(wěn)定收入等于無保險(xiǎn)情況下的財(cái)富收入的預(yù)期值。

　　由上面的分析得到，保險(xiǎn)公司向個(gè)人銷售保險(xiǎn)的預(yù)期收入為零所確定的保險(xiǎn)費(fèi)與購(gòu)買保險(xiǎn)者要求保險(xiǎn)費(fèi)要等于預(yù)期損失是一致的，因此也是科學(xué)的。

　　假定他是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，其效用函數(shù)是嚴(yán)格凹的，這時(shí)有，

　　此式表明，購(gòu)買保險(xiǎn)的預(yù)期費(fèi)用大于收入的預(yù)期效用，因此，購(gòu)買保險(xiǎn)對(duì)他來說是有利的，因此風(fēng)險(xiǎn)厭惡者愿意購(gòu)買各種各樣的保險(xiǎn)。

　　下面我們解方程：

　　以此來求出他愿意支付的最高保險(xiǎn)成本，同時(shí)利用邊際效用μ(w) > 0，即μ(w)嚴(yán)格單調(diào)遞增，可知，得出，這說明最高保險(xiǎn)費(fèi)大于預(yù)期損失，此時(shí)作為理性人，他不會(huì)購(gòu)買保險(xiǎn)。同時(shí)，如果保險(xiǎn)公司收取了較高的財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)費(fèi)，理性人會(huì)采取觀望態(tài)度，保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)會(huì)受到影響。

　　下面我們討論保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)狀況。

　　鑒于保險(xiǎn)公司向個(gè)人銷售保險(xiǎn)的預(yù)期收入為零，有人認(rèn)為，這樣保險(xiǎn)公司不但不會(huì)賺錢，還要在經(jīng)營(yíng)中花掉管理費(fèi)用、員工薪水等，保險(xiǎn)公司就會(huì)虧本。事實(shí)并非如此。

　　事實(shí)上，保險(xiǎn)公司作為經(jīng)濟(jì)人，也是以追求利潤(rùn)最大化為唯一目的。保險(xiǎn)公司是投機(jī)者，只要他們有數(shù)量可觀的保險(xiǎn)單，他們就幾乎沒有什么風(fēng)險(xiǎn)。這可以由概率的大數(shù)定律來解釋：雖然在一次實(shí)驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是隨機(jī)的，但是在大量的重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，該事件發(fā)生的頻率卻收斂于確定的常數(shù)。這樣保險(xiǎn)公司可以通過大面積操作來規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，達(dá)到盈利的目的。我們以人身保險(xiǎn)為例說明。

　　某城鎮(zhèn)每人每年的意外死亡率為0.006，若某人意外死亡，保險(xiǎn)公司將賠付被保險(xiǎn)人100000元，保險(xiǎn)費(fèi)為600元。假設(shè)有10000人購(gòu)買此保險(xiǎn)。則公司利潤(rùn)為：

　　10000×600-死亡人數(shù)×100000=(60-死亡人數(shù))×100000.

　　每人每年死亡可看成是進(jìn)行10000次重復(fù)獨(dú)立的試驗(yàn)，即貝努里試驗(yàn)，設(shè)ζ表示10000人中意外死亡人數(shù)，則ζ～b(10000,0.006)即。

　　公司虧本的可能性，即為

　　,

　　利用De Moire-Laplace積分極限定理：

　　P{公司虧本}

　　由于意外死亡發(fā)生的概率很小，每人對(duì)意外死亡規(guī)避度很高，保險(xiǎn)公司并不用擔(dān)心虧本的可能性只有0.5。

　　一般來說，保險(xiǎn)公司會(huì)收取較高意外死亡保險(xiǎn)費(fèi)，并不影響該公司的業(yè)務(wù)。例如，保險(xiǎn)費(fèi)定為800元， 這時(shí)，P{公司虧本}

　　所以，保險(xiǎn)公司幾乎不會(huì)虧本。

　　效用函數(shù)的具體形式很多，比如完全替代效用函數(shù)、線性效用函數(shù)等等，本文只介紹了效用函數(shù)的冪函數(shù)形式和指數(shù)函數(shù)形式，因?yàn)榻鹑趯W(xué)中這2種形式比較常用。在日常生活中，消費(fèi)者都在有意無意地利用著效用函數(shù)進(jìn)行消費(fèi)，無論他們是否知道效用函數(shù)的具體形式。效用函數(shù)已經(jīng)成為用數(shù)學(xué)方法研究經(jīng)濟(jì)問題的鋪路石，通過對(duì)效用函數(shù)的數(shù)理分析，使經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)更有邏輯性。在解決實(shí)際問題中，我們可以根據(jù)一些具體條件和約束條件，建立最優(yōu)化模型。根據(jù)對(duì)其效用函數(shù)性質(zhì)的討論，我們可以得到該模型唯一的最優(yōu)解，而不用效用函數(shù)形式的不唯一性。